חגי שלום החל את לימודי הקרן בגיל 10, ולאחר זמן קצר הצטרף לתזמורת הנוער העירונית בחיפה. בין השנים 2007-2005 הוא ניגן בתזמורת הארצית לכלי-נשיפה וכן בתזמורת הפילהרמונית הישראלית הצעירה. את שירותו הצבאי עשה בתזמורת צה"ל. לאחר שחרורו בשנת 2010, התקבל שלום לשורות התזמורת הסימפונית ירושלים כנגן בקבוצת הקרנות למשך שתי עונות. בשנת 2013 החל את לימודי התואר הראשון בבית-הספר הגבוה למוסיקה בדרזדן, גרמניה, אצל רוברט לנגביין. עם סיום התואר הראשון התקבל לתוכנית האקדמיה היוקרתית של התזמורת הסקסונית הממלכתית של דרזדן, שם למד אצל זולטן מסקאי. שלום היה מלגאי של קרן התרבות אמריקה-ישראל בין השנים 2013-2006. בין מוריו בארץ נמנים מייקל סלטקין, חזי ניר ועופר ולדמן. שלום  היה חבר בתזמורת "דיוואן מזרח-מערב״ בניצוחו של דניאל בארנבוים בין השנים 2018-2016. משנת 2018, שלום הוא נגן קבוע בקבוצת הקרנות של הפילהרמונית הישראלית.